数学�U（後）レポート作成ヒント集

第７報告課題

◎ 一般角

教科書Ｐ６６．Ｐ６７をよく読んでいけばできるとおもいます。

２．は３０°の動径の位置での一般角の表現の仕方です。

　　◎三角関数

　　　　教科書Ｐ６８の定義を正確につかんでください。

　　　　３．は（１）はＰ６９の問３の（１）、（２）は（２）の作図の仕方と考えは同じです。

　　◎三角関数の相互関係

　　　　４．はＰ６８の定義でｒ＝１としたもの。

　　◎三角関数のグラフ

　　　　１．２．のグラフは教科書Ｐ７２のグラフになります。

　　　　３．（１）周期はｙ＝sinθの周期と同じですが（２）（３）の場合はそれぞれ３θ＝３６０°、２θ＝３６０°から出します

　　　　　　（３）のグラフは教科書Ｐ７４問９．参照

　　　　　　y=tanθのグラフは教科書Ｐ７５参照

第８報告課題

◎ 三角関数の性質

１．（２）（４）はcos（-θ）＝cosθを使ってから、（１）（３）（４）は０°から９０°の範囲の角度になおしてＰ１４５の表を使います。

　　◎加法定理

　　　　３．４．→２．３となりますが、Ｐ８１〜ｐ８２を正確にそのまま頭へいれてください。

　　　　５．→４．となりますが、教科書Ｐ８１の例２．例３の考えかたそのままです。

　　◎弧度法

　　　　６．→５．となりますが、　基本は　１８０°＝πラジアン　と覚えてください。これから出来上がった表がｐ８４の下にあります。

　　　　７．→６．となります。これはｐ８５の例６．参照でＯＫ．です

　　Ｂの１．（１）教科書Ｐ８３の上段をよく読めば正解につながります

　　　　　　（２）は公式そのもの

　　　　２．Ｐ８３の例４．と問４．にあたりそれぞれα＝４５°、３０°の場合になります。

　　　　　ここで共通して大切なことは、直角三角形の４５°４５°９０°と３０°６０°９０°の辺の比を頭にいれておくことが、大切です。

　　Ｃは、α、βは鋭角なので、三角形を作ってそれぞれ（１）（２）を出します。（３）（４）はＰ８１の公式利用です。（５）は

　　　　tanθ＝sinθ/cosθの考えをつかえばスグです。

第９報告課題

　　　１．〜３．は、教科書ｐ８８〜Ｐ８９参照ですが、とくに３．（３）は０．０１＝１/１０^２＝１０^−２とカッコのなかを直してから計算です

　　　　５．６．７→４．５．６となりますが、教科書ｐ９３の例題１．を中心の学習してください。

　　　　８．→７．となります。ｐ９４〜９５の例１０例１１になります。

　　　　９．→８．となりますが、これは教科書Ｐ９６例題２．となります。

　　　１０．→９．となりますが、Ｐ９６例１２、問１５参照してください。

　　　１１．１２→１０．１１となりますが、教科書Ｐ９８〜９９の書き換え練習になります。特にＰ９８の最下段の図を頭にいれておくことが

　　　必須です。

　　　１３．→１２．となりますが、教科書Ｐ１００．例３．の考えになります。

　　　１４．→１３．となりますが、教科書Ｐ１０１の例題２、問７参照

　　　１５．→１４．となりますが、（１）３．４８はＰ１４６そのまま利用。　（２）は１３４０＝１．３４×１０^３と変形してから出します。

　　　１６．→１５．となりますが、教科書Ｐ１０１の例題３．問８を参照して、解答してください。

第10報告課題にはいるまえに（微分へのすすめ）

§１微分とは何か

例　阿部君がA地点を午後１時に出発し、B地点に午後６時に着いた。A地点からB地点まで20ｋｍある。

早さはどれだけ？

　　　　答え　20÷５＝４　より　単位を付けて　４km/時　となる

「しかしこれで良いだろうか？」

　　　早くなったり、遅くなったり、一休みすることもあるでしょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　じつはこれは、平均速度といいます。

天気予報などでは、瞬間風速○○メートルというのが有るでしょう。

これは瞬間速度というのを発表しているのです。

　−瞬間速度の求め方−

　上の問題で、C地点を３時に通過している。Ｃ地点での阿部君の瞬間速度はどれだけだろう。

A地点からC地点までの距離は9ｋｍであったとする。

△ はデルタと読む

△ｘ は

デルタエックスです

3時1分のときはＡ地点からの距離は9.7ｋｍ

3時30秒のときはＡ地点からの距離は9.4ｋｍ

3時１0秒のときはＡ地点からの距離は9.1ｋｍ

3時１秒のときはＡ地点からの距離は9.01ｋｍ

3時0.１秒のときはＡ地点からの距離は9.001ｋｍ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　このようにどんどん時間を3時に近づけます

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３時ｈ分（ｈはすごく０に近い数）のとき　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3時 h秒 　　　　　　　 （９＋△ｘ）ｋｍ 　Ａ地点からの距離が（９＋△ｘ）ｋｍとします。

この3時から3時ｈ分までの平均速度は　　　で求められます

　　　そしてこのｈをすごく小さくすると瞬間速度となります。　

また、この限りなく０に近づけるという記号が です。　　つまり　 km/時

　　　これが瞬間速度です。

現実的には　0.0000001秒ぐらいに何ｍ進んだかで計算します　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

平均速度も瞬間速度も　単位「km/時」がありますね。ややこしいので単位を取り除くと

平均速度は「平均変化率」　瞬間速度は「微分係数」になります。

瞬間速度で3時のとき、というのをｘ時のときとします。つまりｘ時における瞬間速度。それから単位を除いたものを「導関数」といいます。この導関数を求めることを、「微分する」というのです。

第10報告課題

１. これは数値を入れるだけだから解るでしょう。ただし数値を入れるときに（）を忘れないでね。

例　で　　の値を求めると、

　　　　　　　　　　　　　　　

　２.　これは平均速度を求める問題です。

　１秒後　と　3秒後　距離を求めて　かかった時間（この場合は　3−１　秒）で割る

　注意・・・単位を忘れないように　ｍ/秒

　３.　平均変化率を求める問題です。単位は要りません　

例　　において　が−２から３まで変化するときの平均変化率を求めると

　　　　　　　

　　　よって　　　　　つまりこの場合の平均変化率は　４　です　

４. これはｈを0にするだけです。　一番簡単

例　　の場合ｈを０にして　　　です

５. 公式での微分です。ひとつずつ微分します・・・微分するものには‘　をつけます。

例　

　　　　　　　　　微分すると　　　となります

を公式で微分すると　にかかっている指数３を前に出してかける。指数は1引く　

だから　を微分すると、＝　となります。　

同様にして　を微分すると、　となります。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 の場合は指数は１です。　指数から１を引くと０となりますね。

０乗はいつも１です。つまり微分すると1×２×１で ２となります。　

つまり指数が１の式は前の数だけになるのです。

−５の場合は　数字のみですね。このように数字のみの項は、定数項といって

０となります。「数字のみの定数項は微分すると０」

　　　これらを全部並べて書けば出来上がり。

４. ５.と同じです。　＜問題が　となっているので、微分の始まりが ではなく、＞

　７. (1),(2)は省略　(3)は　(2)で微分したものに　　を代入する。カッコを忘れないこと

　８.　「導関数を求めよ」と「微分せよ」というのはまったく同じ意味です。　　９. は省略

１０. 微分して、　を代入する。　単位を忘れないこと　この場合の単位は「ｍ/秒」

１１. 参考例　　「曲線　　　上の点（−１,３）における接線の傾きを求めよ」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　この値を入れる

解答　　より傾きは　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この値(−６)が、接線の傾きです

　　　　　　ヒント　(1) 微分して、２を入れる　　　(2) 微分して、−３を入れる

１２. 接線の求め方　次の二つの公式を組み合わせる。

　公式１　点 を通り、傾きｍ の直線の式は 　

公式２　接点がである、接線の傾きｍ＝　

　　　参考例　　「曲線　　上の点（１，３）における接線の方程式を求めなさい」　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この値を入れる

　　　　　　　　　　　　　　　解答　より　

　　　　　　　　　　　　　　　　接線の傾きは　２(１）＋２＝２＋２＝４　＜公式２より＞

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　接線は　　＜公式１より＞

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答え　

　　　　　　　　　　　　　　　　問題１２. は　 　を微分して　接線の傾きを求める　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　次に　公式１より接線を求める　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　問題１３.は １２と同じなので省略

１４. 　１２の公式　「接線の傾きｍ＝」これを使う

　　(1) 　より　傾きは　　　問題より傾きは２だから　　

　　 　計算して　　これが接点の座標となる。

　　 接点の座標は　　に　この３を代入して　　で求める。

　　　　 接点の座標は（接点の座標，接点の座標）　である

(2) (1)で求めた、接点を通る接線の式を求める。傾きは２である。

１５. 定義に従って微分係数や導関数（微分）を求める方法

　参考例　「関数　　において　　の微分係数を定義に基づいて求めなさい」

　　　　　　　　　　

　　　

参考例　「関数　　を導関数を定義に基づいて微分しなさい」

＜問題１５の解き方＞　微分係数の問題では、最初にと　を求めてから

　　　　　　　　　　　導関数の問題では、最初にと　を求めてから

　　　　　　　　　　　計算の途中でｈがある間は常に　　をずーと書くこと

　第１１報告課題

◎ 増加・減少

１．先に、不等式２（x―２）０、２（ｘ−２）０をといて、xの範囲を出します。教科書Ｐ１１８〜１１９の例１．例２、例題１参照

◎ 極大・極小

２．不等式3x（x―２）０，３x（x―２）０をといて、極大となる範囲、極小となる範囲を出します。教科書Ｐ１２１の例３、例題２

　の考えと同様にできます。

３．Ｐ１２１の例３、例題２を教科書を見ずにできるようになれば、（１）〜（６）は丁寧な誘導形式になっているので、なんなくできあがって

いくでしょう。

　　　Ｂ１．２．は上の３．問題とやりかたは、同じです。

１．はＰ１２１の例３のグラフのタイプ、２．はＰ１２１の例題２のグラフのタイプとなります。

　Ｃ．も丁寧に誘導形式になっています。教科書Ｐ１２２の例題３．と対比しながら進めていけば、容易にできます。

　第１２報告課題

◎不定積分

　　１．（１）、（２）は教科書Ｐ１２４に書かれてある内容を整理する問いになってます。まずここを、正しく理解してください。

　　　　（３）、（４）は教科書ｐ１２５の例１．の内容です。

　　２．３．は教科書Ｐ１２５〜１２６の練習で例３．の理解につとめてください。

◎定積分の計算

　　４．（１）は教科書Ｐ１２８の例４、の上段に書いてある内容をせいりしたもので、まずここを正しく理解してください。

　　５．は教科書Ｐ１２８〜１２９の例４、例５、例６の内容になります。

　　　　（４）ではたとえば被積分関数（インテグラル記号のなかにある）が（x＋１）^２のとき展開してからとりかかる例になってます。

　　Ｂ

◎面積

　　（１）教科書ｐ１３０の直線のy＝xがy＝x＋１にかわった形です。

　　（２）教科書ｐ１３１の例７（３）は教科書Ｐ１３１の例８．（４）は教科書ｐ１３２の例題３に対応してます。これらを何度もくりかえし

　　　　　やって理解につとめてください。

　　Ｃ、の問題はＰ１３４の例題４．参照ですが　

　　（１）はーx＋１＝x^２＋４x−５から、整理して２次方程式をといて、xをだします。

　　（２）〜（４）は問題の指示にしたがってすすめてください。